这是陕西省第九次大学生高等数学竞赛复赛试题第九题

2sin[π/(4n)]·sin[π/(4n)]

=1-cos[π/(2n)]

2sin[π/(4n)]·sin[3π/(4n)]

=cos[π/(2n)]-cos[2π/(2n)]

2sin[π/(4n)]·sin[3π/(4n)]

=cos[2π/(2n)]-cos[3π/(2n)]

……

2sin[π/(4n)]·sin[(2n-1)π/(4n)]

=cos[(n-1)π/(2n)]-cos[nπ/(2n)]

全部加起来，得到

2sin[π/(4n)]·∑sin[(2k-1)π/(4n)]

=1-cos[2π/(2n)]

∴∑sin[(2k-1)π/(4n)]=1/{2sin[π/(4n)]}

令t=π/(4n)，则

原式=lim(t→0)π?/(16t?)·(1-t/sint)

=π?/16·lim(t→0)(sint-t)/(t?sint)

=π?/16·lim(t→0)(sint-t)/t?

=π?/16·lim(t→0)(cost-1)/(3t?)

=π?/16·(-1/6)

=-π?/96

大学生数学竞赛题目第四题怎么做？

解：

用c(i)表示某一市场推销员人数与收益的关系，

用xi表示某一市场推销员人数，

则派遣方案的总收益为：

c1(x1+1) + c2(x2+1) + c1(x3+1) + c4(x4+1) ①

本题即：

在

x1 + x2 + x3 + x4 = 8 ②

的约束条件下，

求①的最大值。

下面是MATLAB求解程序，该程序也很容易转换成其它语言。

% 市场推销员人数与收益的关系

c1 = [20 34 48 66 71 80 91 104 110];

c2 = [30 40 54 70 84 90 103 110 120];

c3 = [33 38 52 82 95 99 110 122 135];

c4 = [40 50 63 97 105 112 134 144 150];

n = 8; % 市场推销员人数

max = 0; % 最大总收益初值

for x1 = 0:n

for x2 = 0:n

for x3 = 0:n

x4 = n - (x1 + x2 + x3);

if x4>=0

total = c1(x1+1) + c2(x2+1) + c1(x3+1) + c4(x4+1);

if total >= max

max = total;

z1=x1; z2=x2; z3=x3; z4=x4;

end

end, end, end

max % 最大总收益

x = [z1, z2, z3, z4] % 使总收益最大的人员派遣方案

4题解：[f（lnx）]^2-2xf（lnx）+x^2lnx=0设lnx=t，则x=e^t，x>0∴[f（t）]^2-2×e^t×f（t）+e^（2t）×t=0{[f（t）]^2-2×f（t）×e^t+（e^t）^2}-（e^t）^2+e^（2t）×t=0[f（t）-e^t]^2=e^（2t）×（1-t）1-t≥0，即t≤1有意义f（t）-e^t=±e^t√（1-t）f（t）=e^t±e^t√（1-t）f（t）=e^t[1+√（1-t）或f（t）=e^t[1-√（1-t）∵f（0）=0∴f（t）=e^t[1+√（1-t）]舍去∴f（t）=e^t[1-√（1-t）]∴f（x）=e^x[1-√（1-x）]，x≤1